Aufgabe: Ein Blech mit einer Fläche vom 1m² soll so in eine Dose
umgeformt werden, dass das Volumen der Dose möglichst groß
ist.
Lösungsweg. Eine Dose stellt geometrisch betrachtet einen Zylinder dar. Hierfür gelten folgende Formeln:
a) Oberfläche = 2 * Grundfläche + Mantelfläche (I)
b) Volumen = Grundfläche * Höhe
(II)
Zuerst wird Gleichung (I) so umgeformt, dass diese nach h aufgelöst wird.
Nun wird Gl. (I) in Gl. (II) eingesetzt, so dass sich das Volumen V als Funktion des Radius R ergibt:
Danach wird die erste Ableitung von V gebildet, so dass man den Scheitelpunkt der Volumenfunktion erhält:
Diese wird 0 gesetzt, was die entsprechende Koordinate des
Scheitelpunktes ergibt. Für diesen Wert von r sei Gl. (II) maximal:
(I)
(II)
